Question

【題目】如圖，已知AO為Rt△ABC的角平分線，∠ACB=90°，，以O為圓心，OC 為半徑的圓分別交AO，BC于點D，E，連接ED并延長交AC于點F．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）求的值。

（3）若⊙O的半徑為4，求的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ;(3) .

【解析】分析：（1）作垂直，證半徑，先根據AAS證明△OGA≌△OCA，可得OC=OG，可知OG為為⊙O的半徑，可得結論；（2）設AC=4x，BC=3x，則AB=5x，根據等角的三角函數可得tan∠CAO=tan∠GAO=；（3）先根據勾股定理求得AO=，則求得AD=OA-OD=．證明△DFA∽△CDA，列比例式DA：AC=AF：AD，代入可得AF的長，代入可得結論．

詳解：（1）證明：作OG⊥AB于點G．

∵∠ACB=∠OGA=90°，∠GAO=∠CAO，AO=AO，

∴△OGA≌△OCA，

∴OC=OG，

∵OC為⊙O的半徑，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：設AC=4x，BC=3x，則AB=5x，

由切線長定理知，AC=AG=4x，故BG=x．

∵tan∠B=OG：BG=AC：BC=4：3，

∴OG=，

∴tan∠CAO=tan∠GAO===；

（3）解：由（2）可知 在Rt△OCA中，AO=

∴AD=OA﹣OD=

連接CD，則∠DCF+∠ECD=∠ECD+∠CEF，

∴∠DCF=∠CEF，

又∠CEF=∠EDO=∠FDA，

∴∠DCF=∠ADF，又∠FAD=∠DAC，

∴△DFA∽△CDA，

∴DA：AC=AF：AD，

即：12=AF：

∴AF=，CF=12-=

∴