Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動點M從點A出發沿邊AD向點D運動．

（1）如圖1，當b=2a，點M運動到邊AD的中點時，請證明∠BMC=90°；

（2）如圖2，當b＞2a時，點M在運動的過程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，當b＜2a時，（2）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在（3）不成立

【解析】

試題分析：（1）由b=2a，點M是AD的中點，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，則可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易證得△ABM∽△DMC，設AM=x，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可確定方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于零，符合題意；

（3）由（2），當b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情況，即可求得答案．

試題解析：（1）∵b=2a，點M是AD的中點，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）存在，

理由：若∠BMC=90°，

則∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴，

設AM=x，則，

整理得：x2﹣bx+a2=0，

∵b＞2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于零，符合題意，

∴當b＞2a時，存在∠BMC=90°，

（3）不成立．

理由：若∠BMC=90°，

由（2）可知x2﹣bx+a2=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＜0，

∴方程沒有實數根，

∴當b＜2a時，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結論不成立．