Question

【題目】如圖，在中，，點，分別在，上，且，以為圓心，長為半徑作圓，經過點，與，分別交于點，．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的半徑；

（3）在（2）的條件下，若的內切圓圓心為，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20；（3）

【解析】

（1）利用相似三角形的判定定理得到，從而得到，根據切線的判定定理證明；（2）過點作，垂足為，得出四邊形為矩形，設半徑為，得出，再通過，解方程算出的值；（3）根據三角形的面積與三角形內切圓的半徑之間滿足算出半徑，再根據勾股定理計算．

（1）證明：

∵，

∴．

∵，

∴．

∴

∴．

又∵點在上，

∴與相切于點．

（2）過點作，垂足為，

∴．

在四邊形中，，

∴四邊形為矩形，

∴，，

∴．

設的半徑為，則，

∴，．

在和中，

∵，，

∴．

∴，即．

∴．

即的半徑為20．

（3）

如圖2：過作于，過作于

由（2）得：

∴

∵是的內心

∵

即解得：

∴

∴

∴