Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，長方形ABCD（每個內角都是90°）的頂點的坐標分別是A（0，m），B（n，0），（m＞n＞0），點E在AD上，AE＝AB，點F在y軸上，OF＝OB，BF的延長線與DA的延長線交于點M，EF與AB交于點N．

（1）試求點E的坐標（用含m，n的式子表示）；

（2）求證：AM＝AN；

（3）若AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，動點P從B出發，以2cm/s的速度沿BC向C運動的同時，動點Q從C出發，以vcm/s的速度沿CD向D運動，是否存在這樣的v值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請求出v值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（m，m+n）；（2）詳見解析；（3）存在，cm/s或2cm/s．

【解析】

（1）過E作EG⊥AO于G．證明△EGA≌△AOB（AAS）即可解決問題．

（2）想辦法證明△EAN≌△BAM（ASA）即可解決問題．

（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：（1）過E作EG⊥AO于G．

∵∠EGA＝∠EAB＝∠AOB＝90°，

∴∠EAG+∠AEG＝90°，∠EAG+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠AEG，

∵AE＝AB，

∴△EGA≌△AOB（AAS），

∴EG＝OA＝m，AG＝OB＝n

∴E（m，m+n）．

（2）∵OB＝OF，∠BOF＝90°，

∴∠OFB＝∠OBF＝45°，

∵△EGA≌△AOB，

∴AG＝OB＝OF，

∴OA＝FG＝EG，

∴∠GFE＝45°，

∴∠EFB＝90°，

∴∠NAE＝∠NFB＝90°，∵∠ANE＝∠FNB，

∴∠AEN＝∠ABM，

∵∠EAN＝∠BAM＝90°，EA＝BA，

∴△EAN≌△BAM（ASA），

∴AN＝AM．

（3）如圖，∵△ABP與△PCQ全等，∠ABP＝∠PCQ＝90°

∴有兩種情形：①當AB＝CD，PB＝CP時，t＝＝5（s），

∴v＝（cm/s），

②當AB＝PC，CQ＝PB時，

PB＝20﹣12＝8，

∴t＝＝4（s），

∴v＝＝＝2（cm/s）．

綜上可知，當 cm/s或2 cm/s時，△ABP與△PQC全等.