Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AE=6，CE=2，求線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、.

【解析】

試題分析：(1)、連結OC，根據切線得出∠BAD=90°，然后得出△OCD和△OAD全等，從而得出∠OCD=∠OAD=90°，得出切線；(2)、設半徑為r，則OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，根據Rt△OCE的勾股定理求出r的值，然后根據△COE的面積減去扇形BOC的面積得出答案.

試題解析：(1)、連結OC，如圖， ∵AD為⊙O的切線，∴AD⊥AB，∴∠BAD=90°，

∵OD∥BC，∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵OB=OC，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，

在△OCD和△OAD中，，∴△AOD≌△COD（SAS）； ∴∠OCD=∠OAD=90°，

∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切線；

(2)、設半徑為r，則OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，在Rt△OCE中，∵OC2+CE2=OE2，

∴r2+（2）2=（6﹣r）2，解得r=2，∵tan∠COE===，∴∠COE=60°，

∴S陰影部分=S△COE﹣S扇形BOC=×2×2﹣=2﹣π．