Question

重慶江北國際機場是西南地區三大航空樞紐之一，也是國家大型樞紐機場，中國十大機場，世界百強機場，2012年旅客吞吐量超過2000萬人次．也是重慶航空有限公司、西部航空有限責任公司、華夏航空三家航空公司的主基地．重慶航空公司有一個航班每天從重慶飛往北京，從2013年1月31日開始，每天該航班乘坐人數y（人）與天數x（天）（1≤x≤10，且為整數）之間有如下表格關系：

x	1	2	3	4	…
y	210	200	190	180	…

每天航班乘坐人數y與天數x（11≤x≤15，且為整數）有如下圖象關系：
（1）請根據表格和圖象直接寫出y與x之間的關系式．
（2）航班的機票價格包括了機場建設費和燃油附加費．其中國內航線的機場建設費是每人50元，出境國際航班的機場建設費是每人90元．從重慶飛往北京的這個航班，由于乘機人數的變化．機票價格也隨之發生改變，在春節前10天（1≤x≤10），每張機票價格m（元）與人數y（人）有如下關系：m=-5y+1450；春節后5天（11≤x≤15），每張機票價格n（元）與人數y（人）有如下關系：n=y+1290．試求出當x取第幾天時，航空公司的總收入最大？（航空公司每張機票收入=機票價格-機場建設費）
（3）在第二問的前提條件下，到第16天，由于迎來春節放假返程高峰，在保持每張機票價格與最大收益當天機票價格不變的情況下，乘機人數卻增加了2a%．同時由于熱門電影《泰囧》的熱播，很多旅客選擇春節后前往泰國曼谷旅游，重慶航空也在第16日開通了飛往曼谷的航班，每張機票在1500元的基礎上降低了0.5a%，出境旅游人數卻比第15日前往北京的人數多3a%．當第16日重慶航空公司總計收入為920400元時，試估算a（0＜a＜30）的整數值（參考數據：65²=4225，66²=4356，67²=4489，68²=4624）

Answer 1

解：（1）當1≤x≤10，且為整數時設y與x之間的函數關系式為y₁=k₁x+b₁，當11≤x≤15，且為整數時，設y與x之間的函數關系式為y₂=k₂x+b₂，由題意，得
，，
解得：，．
∴y₁=-10x+220（1≤x≤10，且為整數），y₂=6x+170（11≤x≤15，且為整數），
∴y=；

（2）設航空公司的總收入為W元，由題意，得
∵m=-5y+1450，
∴m=-5（-10x+220）+1450=50x+350．（1≤x≤10，且為整數）
∵n=y+1290，
∴n=6x+170+1290=6x+1460，（11≤x≤15，且為整數）
當1≤x≤10，且為整數時，
W₁=（50x+350-50）（-10x+220），
=-500x²+8000x+66000，
=-500（x-8）²+98000，
∵a=-500＜0，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x=8，
∴當x=8時，W₁=98000，
當11≤x≤15，且為整數時，
W₂=（6x+1460-50）（6x+170），
=36x²+9480x+239700，
=36（x²+x）+239700，
=36（x+）²-384400，
∵a=36＞0，
∴拋物線的開口向上，
∴拋物線有最小值，在對稱軸的右側，W隨x的增大而增大，對稱軸為x=-．
∵11≤x≤15，
∴x=15時，W_最大=390000，
∵98000＜390000，
∴當x=15時，最大收入是390000元；

（3）由題意，得
第16天返京乘機人數：260（1+2a%）人，
第16天的票價為：6×15+1460=1550元，
前往泰國的票價為：1500（1-0.5a%）元，
前往泰國乘機人數為：260（1+3a%）人，
（1550-50）[260（1+2a%）]+[1500（1-0.5a%）-90]×260（1+3a%）=920400，
設a%=m，則有
1500×260（1+2m）+[1500（1-0.5m）-90]×260（1+3m）=920400，
1500（1+2m）+[1500（1-0.5m）-90]×（1+3m）=3540，
整理，得25m²-72m+7=0，
解得m=，
m=，
∵67²=4489，
∴m₁=0.1，m₂=2.78，
∴a₁=10，a₂=278．
∵0＜a＜30，且a為整數，
∴a=10．
∴a的整數值為10．
分析：（1）解答本題時根據分段函數，當1≤x≤10，且為整數和11≤x≤15，且為整數直接運用待定系數法就可以求出y與x之間的函數關系式；
（2）先分別表示出當1≤x≤10，且為整數和11≤x≤15，且為整數時機票價格與天數x之間的關系，設航空公司的總收入為W元，由每張機票收入=機票價格-機場建設費就可以表示出w；
（3）先表示出第16天國內乘機人數260（1+2a%）人，第16天的票價為6×15+1460=1550元，前往泰國的票價為1500（1-0.5a%）元，乘機人數為260（1+3a%）人，根據第16日重慶航空公司總計收入為920400元建立方程求出其解即可．
點評：本題是一道運用二次函數解實際問題的試題，考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的頂點式的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，解答時根據條件建立一元二次方程是關鍵，運用換元法求解是解答本題的難點．