Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P與點Q不重合，以點P為圓心作經過Q的圓，則稱該圓為點P、Q的“相關圓”

（1）已知點P的坐標為（2，0）①若點Q的坐標為（0，1），求點P、Q的“相關圓”的面積；②若點Q的坐標為（3，n），且點P、Q的“相關圓”的半徑為，求n的值；

（2）已知△ABC為等邊三角形，點A和點B的坐標分別為（﹣，0）、（，0），點C在y軸正半軸上，若點P、Q的“相關圓”恰好是△ABC的內切圓且點Q在直線y=2x上，求點Q的坐標．

（3）已知△ABC三個頂點的坐標為：A（﹣3，0）、B（，0），C（0，4），點P的坐標為（0， ），點Q的坐標為（m， ），若點P、Q的“相關圓”與△ABC的三邊中至少一邊存在公共點，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①5π；②2或﹣2．（2）（， ）；（3） 或﹣ ≤m≤﹣， ≤m≤．

【解析】試題分析：（1）①根據PQ=，求出⊙P的半徑即可解決問題；

②過點Q作QH⊥x軸于H．利用勾股定理求出QH的值，即可解決問題；

（2）在Rt△OAC中，∠ACO=30°，可得OC=OA=3，推出C點坐標為（0，3），推出△ABC的內切圓的圓心的坐標為（0，1），半徑為1，推出P（0，1），設Q（x，2x），則有x2+（2x﹣1）2=1，求出x即可；

（3）①當相關圓與AC、AB相切時，可得半徑有最小值．

②當相關圓經過點B時，可得半徑最大值，由此即可解決問題.

試題解析：1）①∵PQ=，

∴S=πr2=5π．

②過點Q作QH⊥x軸于H．

∵HQ==2，

∴Q點坐標為（3，2）或（3，﹣2）．

∴n=2或﹣2．

（2）如圖，

在Rt△OAC中，∠ACO=30°，

∴OC=OA=3，

∴C點坐標為（0，3），

∴△ABC的內切圓的圓心的坐標為（0，1），半徑為1，

∴P（0，1），

設Q（x，2x），則有x2+（2x﹣1）2=1，

解得x= ，

∴Q（， ）．

（3）如圖3中，

①當相關圓與AC、AB相切時半徑有最小值．

②當相關圓經過點B時，半徑有最大值，

∴﹣≤m≤﹣， ≤m≤．