Question

【題目】如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，連接AC，頂點(diǎn)為D的拋物線過(guò)A、B、C三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸DE交線段BC于點(diǎn)E，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段BC于點(diǎn)F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）設(shè)點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，交AC于點(diǎn)N，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t（秒）為何值時(shí)，存在△QMN為等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）（1）B（4，O），C（0，3），拋物線的解析式為頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，）時(shí)，四邊形DEFP為平行四邊形；（3）當(dāng)t為或或時(shí)，存在△QMN為等腰直角三角形．

【解析】試題分析：（1）由直線y=-+3的解析式即可得B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的解析式即可得拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m+3），根據(jù)四邊形DEFP為平行四邊形，則PF=DE，由此列方程求得m的值，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分別以點(diǎn)M、N、Q為直角頂點(diǎn)討論解決即可.

試題解析：（1）B（4，O），C（0，3）．

拋物線的解析式為

頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（2）把x=1代入

因點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，所以可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為

點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m+3）．若四邊形DEFP為平行四邊形，則PF=DE

即-m2+m+3-（-m+3）=

解之，得m1=3,m2=1（不合題意，舍去）．

∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，）時(shí)，四邊形DEFP為平行四邊形．

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，-），MN交y軸于點(diǎn)G．

∽BAC

①當(dāng)∠Q1MN=90°，MN=MQ2=OG時(shí)，解之，MN=2．

解之，

②當(dāng)時(shí)，容易求出

③當(dāng)∠MQ3N=90°，Q3M=Q3N時(shí)，NM=Q3K=OG

解之，得MN=3．

解之，得n=2，即

MN的中點(diǎn)K的坐標(biāo)為即

∴當(dāng)t為或或時(shí)，存在△QMN為等腰直角三角形．