Question

如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，D為

BC

上一點，AC、BD延長線相交于點E，連接AD，作CF∥AD交⊙O于點F，連接BF交AD于點G．
（1）試判斷△GBD的形狀，并加以證明；
（2）若AB=

15

，DE=2，求DG的長．

Answer 1

分析：根據圓周角定理及平行線的性質可得到∠GBD=∠ABC=60°，又因為∠ADB=∠ACB=60°所以得到△GBD是等邊三角形；
先證明△ABG∽△EBC，再根據相似三角形的對應邊成比例所以BE•BG=AB•BC，解得BG的值，因為BG=GD，所以DG的長也就求得了．

解答：解：（1）△GBD為等邊三角形．（1分）
證明：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵CF∥AD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠4．
∴∠GBD=∠ABC=60°．
又∵∠ADB=∠ACB=60°，
△GBD為等邊三角形．（6分）

（2）∵△GBD與△ABC為等邊三角形，
∴∠AGB=∠BCE=120°．
又∵∠1=∠4，
∴△ABG∽△EBC．
∴

AB

BE

=

BG

BC

．（8分）
即BE•BG=AB•BC，
設BG=GD=x，則BE=x+2，
∴（x+2）x=

15

•

15

．（10分）
解得x₁=3，x₂=-5（不合題意，舍去），
答：DG的長為3．（14分）

點評：此題考查學生對等邊三角形的判定及性質，相似三角形的判定等知識點的綜合運用．