Question

【題目】如圖，直線AB交x軸于點B（2，0），交y軸于點A（0，2），直線DM⊥x軸正半軸于點M，交線段AB于點C，DM=3，連接DA，∠DAC=90°．

（1）求直線AB的解析式．

（2）求D點坐標及過O、D、B三點的拋物線解析式．

（3）若點P是線段OB上的動點，過點P作x軸的垂線交AB于F，交（2）中拋物線于E，連CE，是否存在P使△BPF與△FCE相似？若存在，請求出P點坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為y=﹣x+2；（2）D點坐標是（1，3），拋物線的解析式為y=﹣3x（x﹣2）；（3）P（，0）；（，0）或（，0）．

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據等腰直角三角形的判定與性質，可得D點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（3）根據相似三角形的判定與性質，可得E點坐標，根據點的坐標滿足函數解析式，可得E點坐標，可得P點坐標．

試題解析：(1)設直線AB的解析式為y=kx+b，將A.B點坐標代入函數解析式，得

解得

直線AB的解析式為y=x+2；

(2)如圖1，

過D作DG⊥y軸，垂足為G，∵OA=OB=2，

∴△OAB是等腰直角三角形。

∵AD⊥AB,

即△ADG是等腰直角三角形，

∴DG=AG=OGOA=DMOA=32=1，

∴D點坐標是(1,3)；

設拋物線的解析式為y=ax(x2)，將D點坐標代入，得

a×1×(12)=3,解得a=3,拋物線的解析式為y=3x(x2)；

(3)由(2)得 則 設P(x,0)，MP=x1，PB=2x，

①當時,△BPF∽△FCE，

過C作CH⊥EF, 即EF=2CH=MP，

∴PE=PF+EF=BP+2MP=2x+2(x1)=x,即E(x,x).

將E點坐標代入拋物線，得

x=3x(x2)，

解得（不符合題意,舍） ,即

②如圖2，

當時，△CEF、△BPF為等腰直角三角形，PE=MC=1，

∴E(x,1)，

將E點坐標代入函數解析式，得

3x(x2)=1，

解得

此時或

綜上所述： 或