Question

如圖所示．某校計劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進行生態環境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個頂點H、G分別在邊AB、AC上．現計劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投資4元．
（1）當FG長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？
（2）當矩形EFGH的邊FG為多少米時，△ABC空地改造總投資最小，最小值為多少？

Answer 1

解：（1）設FG=x米，則AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：=，
∴HG=120-，
BE+FC=120-（120-x）=x，
∴•（120-x）•（80-x）=×x•x，
解得x=40．
∴當FG的長為40米時，種草的面積和種花的面積相等．

（2）設改造后的總投資為W元．
則W=•（120-x）•（80-x）•6+×x•x•10+x（120-x）•4
=6x²-240x+28800
=6（x-20）²+26400
∵二次項系數6＞0，
∴當x=20時，W_最小=26400．
答：當矩形EFGH的邊FG長為20米時，空地改造的總投資最小，最小值為26400元．
分析：（1）可利用相似分別表示出相應的三角形的底與高，讓面積相等即可
（2）把相應的總投資用含x的代數式表示出后，求出二次函數的最值即可．
點評：本題考查三角形相似的應用以及二次函數的最值，需注意在做題過程中加以理解應用．