Question

已知在中，，，于，點在直線上，，點在線段上，是的中點，直線與直線交于點.
（1）如圖1，若點在線段上，請分別寫出線段和之間的位置關系和數量關系：___________，___________；

（2）在（1）的條件下，當點在線段上，且時，求證：；
（3）當點在線段的延長線上時，在線段上是否存在點，使得．若存在，請直接寫出的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

試題分析：（1）有已給條件可猜想線段和之間的位置關系和數量關系是:⊥，=
（2）如圖，過點A作AG⊥AB,且AG=BM,，連接CG、FG,延長AE交CM于H.
,,,從而證得△和△全等;,再證得△和△全等,得到,從而得,.
（3）點在線段的延長線上時，在線段上存在點，使得. 這時
試題解析：（1）⊥，=．
（2）如圖，過點A作AG⊥AB,且AG=BM,，連接CG、FG,延長AE交CM于H.
∵,,
∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=.

∴∠GAC=∠MBC=45°.
∵,
∴CD=AD=BD=.
∵是的中點,
∴.
∴.
∵,
∴
∴
∵AG⊥AF,
∴
∴
在△和△中，

∴△≌△．
∴．
∴．
在△和△中，

∴△≌△．
∴．
∴.
由（1）知⊥，
∴
∴.
（3）存在.