Question

已知如圖，動點P在反比例函數y=-

2

x

（x＜0）的圖象上運動，點A點B分別在X軸，Y軸上，且OA=OB=2，PM⊥X軸于M，交AB于點E，PN⊥Y軸于點N，交AB于F；
（1）當點P的縱坐標為

5

3

時，連OE，OF，求E、F兩點的坐標及△EOF的面積；
（2）動點P在函數 y=-

2

x

（x＜0）的圖象上移動，它的坐標設為P（a，b） （-2＜a＜0，0＜b＜2且|a|≠|b|），其他條件不變，探索：以AE、EF、BF為邊的三角形是怎樣的三角形？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）分別求得點P、點E、點F的坐標，然后即可求得三角形EOF的面積；
（2）由條件知△AOB是等腰直角三角形，則△AME，△EPF，△FNB均為等腰直角三角形，然后表示出AE²、BF²、EF²=（

2

PE）²得到AE²+BF²=EF²，利用勾股定理即可判定直角三角形．

解答：解：（1）由條件知A（-2，0），B（0，2），易求得直線AB的解析式為：y=x+2
又∵點P在函數y=-

2

x

上，且縱坐標為

5

3

，
∴P（-

6

5

，

5

3

）
把x=-

6

5

代入y=x+2中得y=

4

5

，
∴E（-

6

5

，

4

5

）
把y=

5

3

代入y=x+2中得x=-

1

3

∴F（-

1

3

，

5

3

）
S_△E0F=S_△AOF-S_△AOE=

1

2

×|-2|×

5

3

-

1

2

×|-2|×

4

5

=

13

15

；

（2）以AE，BF，EF為邊的三角形是直角三角形．
理由如下：
由條件知△AOB是等腰直角三角形，則△AME，△EPF，△FNB均為等腰直角三角形，又-2＜a＜0，0＜b＜2
AM=2-（-a）=2+a
∴AE²=（

2

AM）²=2a²+8a+8
BN=2-b
∴BF²=（

2

BN）²=2b²-8b+8
PE=PM-EN=PM-AM=b-（2+a）=b-a-2     而ab=-2
∴EF²=（

2

PE）²=2a²+2b²+8a-8b+16
又|a|≠|b|
∴AE≠BF
而（2a²+8a+8）+（2b²-8b+8）=2a²+2b²+8a-8b+16
∴AE²+BF²=EF²
故以AE，BF，EF為邊的三角形是直角三角形．

點評：本題考查了反比例函數的綜合知識，解題的關鍵是利用反比例函數的性質、特點求得相應的點的坐標．