Question

（2008•重慶）已知：如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線過C（0，4）點，可確定c=4，然后可將A的坐標代入拋物線的解析式中，即可得出二次函數的解析式．
（2）可先設Q的坐標為（m，0）；通過求△CEQ的面積與m之間的函數關系式，來得出△CQE的面積最大時點Q的坐標．
△CEQ的面積=△CBQ的面積-△BQE的面積．
可用m表示出BQ的長，然后通過相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ邊上的高，進而可根據△CEQ的面積計算方法得出△CEQ的面積與m的函數關系式，可根據函數的性質求出△CEQ的面積最大時，m的取值，也就求出了Q的坐標．
（3）本題要分三種情況進行求解：
①當OD=OF時，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是個等腰直角三角形，于是可得出F的坐標應該是（2，2）．由于P，F兩點的縱坐標相同，因此可將F的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標．
②當OF=DF時，如果過F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的縱坐標，然后根據①的方法求出P的坐標．
③當OD=OF時，OF=2，由于O到AC的最短距離為2，因此此種情況是不成立的．
綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標．
解答：解：（1）由題意，得
解得（2分）
∴所求拋物線的解析式為：y=-x²+x+4．

（2）設點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G．
由-x²+x+4=0，
得x₁=-2，x₂=4
∴點B的坐標為（-2，0）
∴AB=6，BQ=m+2
∵QE∥AC
∴△BQE∽△BAC
∴
即
∴
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=BQ•CO-BQ•EG
=（m+2）（4-）
=
=-（m-1）²+3
又∵-2≤m≤4
∴當m=1時，S_△CQE有最大值3，此時Q（1，0）．

（3）存在．在△ODF中．
（ⅰ）若DO=DF
∵A（4，0），D（2，0）
∴AD=OD=DF=2
又在Rt△AOC中，OA=OC=4
∴∠OAC=45度
∴∠DFA=∠OAC=45度
∴∠ADF=90度．此時，點F的坐標為（2，2）
由-x²+x+4=2，
得x₁=1+，x₂=1-
此時，點P的坐標為：P（1+，2）或P（1-，2）．
（ⅱ）若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M
由等腰三角形的性質得：OM=OD=1
∴AM=3
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3
∴F（1，3）
由-x²+x+4=3，
得x₁=1+，x₂=1-
此時，點P的坐標為：P（1+，3）或P（1-，3）．
（ⅲ）若OD=OF
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°
∴AC=
∴點O到AC的距離為，而OF=OD=2，與OF≥2矛盾，所以AC上不存在點使得OF=OD=2，
此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形
所求點P的坐標為：P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．
點評：本題著重考查了圖形平移變換、三角形相似、以及二次函數的綜合應用等重要知識點，要注意的是（3）中不確定等腰三角形的腰是哪些線段時，要分類進行討論．