Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣ ），且與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）以AB為直徑的⊙M相切于點(diǎn)E，CE交x軸于點(diǎn)D，求直線CE的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣ （a≠0）

∵拋物線經(jīng)過(guò)（0，2）

∴a（0﹣4）2﹣ =2

解得：a=

∴y= （x﹣4）2﹣

即：y= x2﹣ x+2

當(dāng)y=0時(shí)， x2﹣ x+2=0

解得：x=2或x=6

∴A（2，0），B（6，0）；

（2）

解：存在，

如圖2，由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸l為x=4，

因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，連接CB交l于點(diǎn)P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6，0），C（0，2）

∴OB=6，OC=2

∴BC=2 ，

∴AP+CP=BC=2

∴AP+CP的最小值為2 ；

（3）

解：如圖3，連接ME

∵CE是⊙M的切線

∴ME⊥CE，∠CEM=90°

∵C的坐標(biāo)（0，2），

∴OC=2，

∵AB=4，

∴ME=2

∴OC=ME=2，

∵∠ODC=∠MDE，

∵在△COD與△MED中

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM

設(shè)OD=x

則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x

則Rt△COD中，OD2+OC2=CD2，

∴x2+22=（4﹣x）2

∴x=

∴D（ ，0）

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵直線CE過(guò)C（0，2），D（ ，0）兩點(diǎn)，

則

解得：

∴直線CE的解析式為y=﹣ +2；

【解析】（1）利用頂點(diǎn)式求得二次函數(shù)的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)；（2）線段BC的長(zhǎng)即為AP+CP的最小值；（3）連接ME，根據(jù)CE是⊙M的切線得到ME⊥CE，∠CEM=90°，從而證得△COD≌△MED，設(shè)OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定線段CE的解析式即可．