Question

基本模型
如下圖，點B、P、C在同一直線上，若∠B=∠1=∠C=90°，則△ABP∽△PCD成立，
（1）模型拓展
如圖1，點B、P、C在同一直線上，若∠B=∠1=∠C，則△ABP∽△PCD成立嗎？為什么？
（2）模型應用
①如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于點Q，求CQ的長；
②如圖3，正方形ABCD的邊長為1，點P是線段BC上的動點，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，當P在何處時，線段CQ最長？最長是多少？

Answer 1

解：（1）成立，
∵∠A=180°-（∠B+∠APB），
∠CPD=180°-（∠1+∠APB），
∠B=∠1，
∴∠A=∠CPD，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；

（2）①∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠APQ，
∴∠B=∠APQ=∠C，
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴=，
∴=，
∴CQ=；
②設BP=x，CQ=y．
∵∠B=∠APQ=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴=，即=，
∴y=-x²+x=-（x-）²+，
∴當x=時，y_最大=，
即當P是BC的中點時，CQ最長，最長為．
分析：（1）由∠A=180°-（∠B+∠APB）和∠CPD=180°-（∠1+∠APB），可得出∠B=∠1，則∠A=∠CPD，從而證明△ABP∽△PCD；
（2）①由四邊形ABCD是等腰梯形，則∠B=∠C，∠B=∠APQ=∠C，再由（1）知，△ABP∽△PCD，從而得出CQ；
②設BP=x，CQ=y．由∠B=∠APQ=90°，則△ABP∽△PCQ，再由相似三角形的性質，得出y與x之間的函數關系式，即y=-x²+x=-（x-）²+，根據二次函數的性質得出答案．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、二次函數的最值問題、正方形的性質以及等腰三角形的性質，是一道綜合題，難度較大．