Question

【題目】如圖，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足為點D，交⊙O于點C，∠EAC=∠CAB．

（1）求證：直線AE是⊙O的切線；

（2）若AB=8，sin∠E=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

試題分析：（1）首先得出∠OCA+∠CAD=90°，進而求出∠EAC+∠OAC=90°，即可得出答案．

（2）作CF⊥AE于F，根據角平分線的性質和三角函數求得AE=，DE=，進一步求得CF=CD=2，然后根據勾股定理列出關于r的方程，解方程即可求得．

（1）證明：連接OA，

∵OE垂直于弦AB，

∴∠OCA+∠CAD=90°，

∵CO=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∵∠EAC=∠CAB，

∴∠EAC+∠OAC=90°，

∴OA⊥AE，

即直線AE是⊙O的切線．

（2）作CF⊥AE于F，

∵∠EAC=∠CAB，

∴CF=CD，

∵AB=8，

∴AD=4，

∵sin∠E=，

∴=，=，

∴AE=，DE=，

∴CF=2，

∴CD=2，

設⊙O的半徑r，

在RT△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，

解得r=5．

∴⊙O的半徑為5．