Question

閱讀以下的材料：
如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式：

a+b

2

≥

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號
我們把

a+b

2

叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把

ab

叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（小）值問題的有力工具，下面舉一例子：
例：已知x＞0，求函數(shù)y=x+

4

x

的最小值．
解：另a=x，b=

4

x

，則有a+b≥2

ab

，得y=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=

4

x

時(shí)，即x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為2．
根據(jù)上面回答下列問題
①已知x＞0，則當(dāng)x=

 

時(shí)，函數(shù)y=2x+

3

x

取到最小值，最小值為

 

；
②用籬笆圍一個(gè)面積為100m²的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？
③已知x＞0，則自變量x取何值時(shí)，函數(shù)y=

x

x2-2x+9

取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：根據(jù)閱讀材料可以得到兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)一定大于或等于幾何平均數(shù)．
（1）令a=2x，b=

3

x

，這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，根據(jù)：

a+b

2

≥

ab

就可以直接得到結(jié)果．
（2）設(shè)這個(gè)矩形的長為x米，則寬=面積÷長，即寬=

100

x

米，則所用的籬笆總長為2倍的長+2倍的寬，本題就可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)負(fù)數(shù)的和的問題，從而根據(jù)：

a+b

2

≥

ab

求解．
（3）將原函數(shù)變?yōu)椋?span id="1dpt9z5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

y

=

x2-2x+9

x

=x+

9

x

-2，則原函數(shù)的最大值，即為現(xiàn)在函數(shù)的最小值．

解答：解：①已知x＞0，得y=2x+

3

x

≥2

2x• 3 x

=

6

，當(dāng)僅當(dāng)2x=

3

x

時(shí)，即x=

6

2

時(shí)，函數(shù)y=2x+

3

x

取到最小值，最小值為2

6

；
則當(dāng)x=

6

2

時(shí)，函數(shù)y=2x+

3

x

取到最小值，最小值為2

6

；
②設(shè)這個(gè)矩形的長為x米，則寬為

100

x

米，所用的籬笆總長為y米，
根據(jù)題意得：y=2x+

200

x

由上述性質(zhì)知：
∵x＞0
∴2x+

200

x

≥40
此時(shí)，2x=

200

x

∴x=10
答：當(dāng)這個(gè)矩形的長、寬各為10米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米；
③令

1

y

=

x2-2x+9

x

=x+

9

x

-2≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

9

x

時(shí)，

1

y

取最小值為4，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y_最大=

1

4

．

點(diǎn)評：本題是閱讀型問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目中給出的已給信息，理解閱讀材料介紹的知識，主要培養(yǎng)自學(xué)能力．