Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于任意三點A，B，C，給出如下定義：若矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行或重合，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的外延矩形，點A，B，C的所有外延矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最佳外延矩形．例如，圖①中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是點A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是點A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如圖②，已知A（﹣1，0），B（3，2），點C在直線y＝x﹣1上，設點C的橫坐標為t．

①若t＝，則點A，B，C的最佳外延矩形的面積為多少？

②若點A，B，C的最佳外延矩形的面積為9，求t的值．

（2）如圖③，已知點M（4，0），N（0，），P（x，y）是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點，求點M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值，以及此時點P的橫坐標x的取值范圍；

（3）已知D（1，0）．若Q是拋物線y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的圖象在﹣2≤x≤1之間的最高點，點E的坐標為（0，4m），設點D，E，Q的最佳外延矩形的面積為S，當4≤S≤6時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①8；②t的值為或；（2）最小值為14，此時P點橫坐標x的取值范圍為：0≤x≤1﹣或1+≤x≤3；（3）m的取值范圍為：≤m≤或﹣≤m≤﹣1

【解析】

（1）①以AB為對角線的矩形面積即為所求．
②分兩種情況討論：C在x軸下方；C在B點右上方．分別列方程求解即可．
（2）分別令y等于M、N的縱坐標，解出方程并結合圖形即可得出答案．
（3）先求出拋物線的頂點坐標，然后討論拋物線對稱軸與所給的x的范圍的關系，對于每一種情況，分別表示出S，再根據S的范圍解不等式組即可求出m的取值范圍．

（1）①如圖②，作矩形ANBM，

∵t＝，∴C（，），

∵A（﹣1，0），B（3，2），∴C在矩形ANBM內部，

此時，矩形ANBM是點A，B，C的最佳外延矩形．

S矩形ANBM＝AMBM＝（3+1）（2﹣0）＝8．

故答案為8．

②若C在x軸下方，則：4[2﹣（t﹣1）]＝9，解得t＝．

若C在B點右上方，則：（t+1）（t﹣1）＝9，解得t1＝﹣（舍），t2＝．

綜上所述，t的值為或．

（2）令y＝﹣x2+2x+3＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣，

令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

點M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值為4×＝14，

此時P點橫坐標x的取值范圍為：0≤x≤1﹣或1+≤x≤3．

（3）∵y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x+m）2+2m+1，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣m，2m+1）．

①當1≤﹣m即m≤﹣1時，Q點坐標為（1，﹣m2）

若﹣m2＜4m，則m＞0（舍）或m＜﹣4，此時S＝m2，

∵4≤S≤6，∴﹣≤m≤﹣2（舍）．

若﹣m2≥4m，則﹣4≤m≤0，此時S＝﹣4m，

∴4≤﹣4m≤6，解得：﹣≤m≤﹣1，

②當﹣2＜﹣m＜1即﹣1＜m＜2時，Q點的坐標就是拋物線頂點，S＝4m（m+1），

∴4≤4m（m+1）≤6，解得≤m≤，

③當﹣m≤﹣2即m≥2時，4m≥8，不合題意，舍去．

綜上所述，m的取值范圍為：≤m≤或﹣≤m≤﹣1．