Question

【題目】四邊形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是對角線 AC上的兩個動點，分別從 A，C 同時出發， 相向而行，速度均為 1cm/s，運動時間為 t 秒，當其中一個動點到達后就停止運動．

（1）若 G，H 分別是 AB，DC 中點，求證：四邊形 EGFH 始終是平行四邊形．

（2）在（1）條件下，當 t 為何值時，四邊形 EGFH 為矩形．

（3）若 G，H 分別是折線 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的動點，與 E，F 相同的速度同時出發，當 t 為何值時，四邊形 EGFH 為菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）當 t 為0.5s或4.5s時，四邊形 EGFH 為矩形；

（3）t為s時，四邊形EGFH為菱形.

【解析】試題分析：（1）由矩形的性質得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS證明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出結論；

（2）先證明四邊形BCHG是平行四邊形，得出GH=BC=4，當對角線EF=GH=4時，平行四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：①AE=CF=t，得出EF=5-2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5-2（5-t）=4，解方程即可；

（3）連接AG、CH，由菱形的性質得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，證出四邊形AGCH是菱形，得出AG=CG，設AG=CG=x，則BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出AB+BG=，即可得出t的值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，

∴AC==5，∠GAF=∠HCE，

∵G，H分別是AB，DC中點，

∴AG=BG，CH=DH，

∴AG=CH，

∵AE=CF，

在△AFG和△CEH中，

∴△AFG≌△CEH（SAS），

∴GF=HE，

同理：GE=HF，

∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）由（1）得：BG=CH，BG∥CH，

∴四邊形BCHG是平行四邊形，

∴GH=BC=4，當EF=GH=4時，平行四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：

①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4，解得：t=0.5；

②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4，解得：t=4.5；

綜上所述：當t為0.5s或4.5s時，四邊形EGFH為矩形．

（3）連接AG、CH，如圖所示：

∵四邊形EGFH為菱形，

∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，

∴OA=OC，AG=AH，

∴四邊形AGCH是菱形，

∴AG=CG，

設AG=CG=x，則BG=4﹣x，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2，即32+（4﹣x）2=x2，

解得：x=，

∴BG=4﹣=，

∴AB+BG=3+=，

即t為s時，四邊形EGFH為菱形．