Question

（2013•豐臺區二模）已知關于x的方程x²-（m-2）x+m-3=0．
（1）求證：此方程總有兩個實數根；
（2）設拋物線y=x²-（m-2）x+m-3與y軸交于點M，若拋物線與x軸的一個交點關于直線y=-x的對稱點恰好是點M，求m的值．

Answer 1

分析：（1）通過該一元二次方程的根據的判別式△≥0可得此方程總有兩個實數根；
（2）根據函數解析式易求得該函數圖象與x、y軸的交點坐標，然后根據“拋物線與x軸的一個交點關于直線y=-x的對稱點恰好是點M”可以列出-1=m-3或m-3=3-m，即m=2或m=3．

解答：（1）證明：△=b²-4ac=（m-2）²-4（m-3）=m²-8m+16=（m-4）²≥0，
∴此方程總有兩個實數根；

（2）解：拋物線y=x²-（m-2）x+m-3與y軸交點為M（0，m-3），
拋物線與x軸的交點為（1，0）和（m-3，0），它們關于直線y=-x的對稱點分別為（0，-1）和（0，3-m）．
由題意，可得：-1=m-3或m-3=3-m，即m=2或m=3．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點、根的判別式．二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數．
△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；
△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．