Question

【題目】已知拋物線交x軸于A（-2，0），B（4，0）兩點，交y軸于C點，連接AC、BC．點D在線段BC上（不與點B、點C重合），DE∥AC，交x軸于點E，連接CE．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點D的橫坐標為m，△CDE的面積為S．則m為何值時，S取得最大值，并求出這個最大值；

（3）若△ACE為等腰三角形，請直接寫出此時點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=2時，S取得最大值；（3） 或 或

【解析】

（1）根據待定系數法解答即可；

（2）易得點C坐標和BC的長，然后利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，如圖1，作DF⊥x軸于點F，則DF的長可用含m的代數式表示，由DE∥AC可得△BDE∽△BCA，于是有，由DF∥OC可得，于是有，則BE可用含m的代數式表示，然后根據即可得出S與m的函數關系式，再利用二次函數的性質即可求出結果；

（3）分三種情況：當CA=CE時，如圖2，結合（2）題中的BE先用含m的代數式表示AE，由AE=2AO即可建立m的方程，解方程即可求出m，進而可得點D坐標；當AC=AE時，如圖3，由AC的長可直接解出m，從而可得點D坐標；當EA=EC時，如圖4，在Rt△OEC中，根據勾股定理建立m的方程，解方程即可求出m，于是可得點D坐標．

解：（1）∵拋物線交x軸于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，

∴，解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）拋物線與y軸交于點C（0，﹣3），

∵A（﹣2，0），B（4，0），

∴OA＝2，OC＝3，OB＝4．

在Rt△OBC中，BC=．

由B（4，0）、C（0，﹣3）可求得直線BC的解析式為，

∵點D的橫坐標為m，∴D（m，），

如圖1，作DF⊥x軸于點F，

∴DF=，

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BCA．

∴．

∵DF∥OC，

∴．

∴．

∴．

∴，

∴m=2時，S取得最大值；

（3）分三種情況：

當CA=CE時，如圖2，

∵，

∴AE=，

∵AE=2AO=4，

∴，解得：，

此時點D的坐標是：；

當AC=AE時，如圖3，

∵，

∴

∴，

此時點M的坐標為；

當EA=EC時，如圖4，

∵，∴

則在Rt△OEC中，由勾股定理，得：，解得：，

此時點D的坐標是．

綜上，點D的坐標為或 或．