Question

在探究矩形的性質時，小明得到了一個有趣的結論：矩形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．如圖1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC²=AB²+BC²，BD²=AB²+AD²，又CD=AB，AD=BC，所以AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²=2（AB²+BC²）．
小亮對菱形進行了探究，也得到了同樣的結論，于是小亮猜想：任意平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．請你解決下列問題：
（1）如圖2，已知：四邊形ABCD是菱形，求證：AC²+BD²=2（AB²+BC²）；
（2）你認為小亮的猜想是否成立，如果成立，請利用圖3給出證明；如果不成立，請舉反例說明；
（3）如圖4，在△ABC中，BC、AC、AB的長分別為a、b、c，AD是BC邊上的中線．試求AD的長．（結果用a，b，c表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）設AC與BD相交于點O，根據四邊形ABCD是菱形，得出AC=2OA，BD=2OB，利用勾股定理，得OA²+OB²=AB²，再利用AB=BC，即可求證AC²+BD²=2（AB²+BC²）．
（2）作AE⊥BC于點E，DF⊥BC交BC的延長線于F，再根據四邊形ABCD是平行四邊形，求證△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²
（3）延長AD到E，使DE=AD，連接BE，CE，則AE=2AD，求證四邊形ABEC是平行四邊形，由（2）的結論，得AE²+BC²=2（AB²+AC²），解得AD²=．
解答：解：（1）如圖2，設AC與BD相交于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA²+OB²=AB²，
∴AC²+BD²=4OA²+4OB²=4（OA²+OB²）=4AB²，
又∵AB=BC，
∴AC²+BD²=2（AB²+AB²）=2（AB²+BC²）．

（2）小亮的猜想成立．
證明：作AE⊥BC于點E，DF⊥BC交BC的延長線于F，
則∠AEB=∠DFC=90°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又AE²+BE²=AB²，
故AC²+BD²=2（AB²+BC²）．

（3）延長AD到E，使DE=AD，連接BE，CE，則AE=2AD．
∵BD=CD，
∴四邊形ABEC是平行四邊形．
由（2）的結論，得
AE²+BC²=2（AB²+AC²），
即（2AD）²+a²=2（b²+c²），
解得AD²=，
故AD=．
點評：此題主要考查學生對勾股定理，矩形的性質，平行四邊形的性質和菱形的性質的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性很強，有一定的拔高難度，屬于難題．