Question

某醫藥研究所進行某一治療病毒新藥的開發，經過大量的服用試驗后知，成年人按規定的劑量服用后，每毫升血液中含藥量y微克（1微克=10^-3毫克）隨時間x小時的變化規律與某一個二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）相吻合，并測得服用時（即時間為0時）每毫升血液中含藥量為0微克；服用后2小時每毫升血液中含藥量為6微克；服用后3小時，每毫升血液中含藥量為7.5微克．
（1）試求出含藥量y（微克）與服藥時間x（小時）的函數表達式，并畫出0≤x≤8內的函數圖象的示意圖；
（2）求服藥后幾小時，才能使每毫升血液中含藥量最大并求出血液中的最大含藥量；
（3）結合圖象說明一次服藥后的有效時間是多少小時？（有效時間為血液中含藥量不為0的總時間）

Answer 1

解：（1）由題意得，
解得，
所以y=-x²+4x，
示意圖如圖所示：

（2）由題意y=-x²+4x=-（x-4）²+8，
所以服藥后4小時，才能使血液中含藥量最大，這時每毫升血液中含有藥液8微克；

（3）當y=0時，x₁=0，x₂=8，
故一次服藥后的有效時間為8小時．
分析：（1）由題意可列出二次函數的方程組解得a，b，c．求出函數關系式；
（2）要求最大值，把函數關系式用配方法表達出來即可；
（3）令y=0，求出x的實際值，就是一次服藥后的有效時間．
點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．本題綜合性較強，考查了待定系數法，畫圖能力等相關知識．