Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是拋物線上的動點，且滿足，求出點的坐標；

（3）連接，點是軸一動點，點是拋物線上一動點，若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．

備用圖

Answer 1

【答案】（1）;（2），，，；（3），，

【解析】

（1）由待定系數法求出解析式即可；

（2）先求出點C坐標，可得OA=OC=3，由面積關系列出方程即可求解；

（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質可求解；

解：

（1）∵拋物線經過點A（-3，0），點B（1，0），

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：，

∵拋物線的解析式為：，與y軸交于點C，

∴點C坐標為（0，3），

即OA=OC=3；

（2）過點P作PM⊥AO于點M，PN⊥CO于點N，

設P(，)，

∵ ，

∴，

∵AO=3，CO=3，

∴PM=2PN，即，

當點P在第一、三象限時，，

解得，，；

∴，，

當點P在第二、四象限時，，

解得，；

∴，；

（3）若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形，

∴CF∥BE，

∴點C與點F縱坐標相等，

∴，

解得，（舍去），

∴點F（-2，3），

若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形，

∴BE與CF互相平分，

∵BE中點縱坐標為0，且點C縱坐標為3，

∴點F的縱坐標為-3，

∴，

解得，

∴，，

∴或，

若BC為對角線,則四邊形BECF是平行四邊形，

∴BC與EF互相平分，

∴BC中點縱坐標為，且點E的縱坐標為0，

∴點F的縱坐標為3，

∴點F（-2，3），

綜上所述，點F坐標為：，，；