Question

【題目】如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的頂點A的坐標為（10，0），頂點B的坐標為（5，5），AB=10，點P從點A出發，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D（0，2）出發，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）當點P在AB上運動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t（秒）之間的函數圖象為拋物線的一部分，（如圖②），則點P的運動速度為 ；

（2）求（1）中面積S與時間t之間的函數關系式及面積S的最大值及S取最大值時點P的坐標；

（3）如果點P，Q保持（1）中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當點P沿這兩邊運動時，使∠OPQ=90°的點P有 個．

Answer 1

【答案】（1）2個單位/秒；（2）S=（2t+2）（10﹣t），當t=時，S有最大值為，此時P（）；（3）2．

【解析】試題分析：（1）由圖形可知，當點P運動了5秒時，它到達點B，此時即可求出點P的運動速度.

過P作軸，表示出 配方求出最大值即可.

分兩種情況進行討論即可.

試題解析：（1）由圖形可知，當點P運動了5秒時，它到達點B，此時 因此點P的運動速度為10÷5=2個單位/秒，

點P的運動速度為2個單位/秒．

故答案是：2個單位/秒；

（2）如圖①，過P作軸，

∵點P的運動速度為2個單位/秒．

∴t秒鐘走的路程為2t，即

∵頂點B的坐標為

∴

∴

∴

∴ 又

∴ 即為中OQ邊上的高，

而 可得

∴

∵

∴當時，S有最大值為，此時P.

（3）當點P沿這兩邊運動時， 的點P有2個．

①當點P與點A重合時，

當點P運動到與點B重合時，OQ的長是12單位長度，

作交y軸于點M，作軸于點H，

由得:

所以，從而

所以當點P在AB邊上運動時， 的點P有1個．

②同理當點P在BC邊上運動時，可算得，

而構成直角時交y軸于

所以從而的點P也有1個．

所以當點P沿這兩邊運動時， 的點P有2個．

故答案是：2．