Question

已知：如圖①，在中，，，，點由出發沿方向向點勻速運動，速度為1cm/s；點由出發沿方向向點勻
速運動，速度為2cm/s；連接．若設運動的時間為（），解答下列問題：
（1）當為何值時，？
（2）設的面積為（），求與之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻，使線段恰好把的周長和面積同時平分？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖②，連接，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時刻，使四邊形為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在；（4），

解析試題分析：（1）當PQ∥BC時，可得出三角形APQ和三角形ABC相似，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得結果；
（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據Q的速度和時間t表示出來．關鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來求．AP的長可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出x，y的函數關系式．
（3）如果將三角形ABC的周長和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長，那么可以求出此時t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關系式中，求出此時面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時刻．
（4）我們可通過構建相似三角形來求解．過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個矩形，解題思路：通過三角形BPN和三角形ABC相似，得出關于BP，PN，AB，AC的比例關系，即可用t表示出PN的長，也就表示出了MC的長，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據等腰三角形三線合一的特點，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線段和AC的長，就可以根據AC=AQ+QM+MC來求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的長，也就能求出菱形的邊長了．
（1）在Rt△ABC中，，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
，

解得，
所以當時，PQ∥BC；
（2）如圖，過點P作PH⊥AC于H，

∵△APH∽△ABC，
，

，
；
（3）若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ，
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1，
若PQ把△ABC面積平分，則，即，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分．
（4）過點P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，

若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC，
，
，
解得，

解得，
當時，四邊形PQP'C是菱形．
此時，，
在Rt△PMC中，，
∴菱形PQP′C邊長為
考點：本題考查的是相似三角形的綜合應用
點評：解答本題的關鍵是正確作出輔助線，找到相似的三角形，靈活運用相似三角形的對應邊成比例的性質。