Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，對于某點P（P不是原點），稱以點P為圓心，長為半徑圓為點P的半長圓；對于點Q，若將點P的半長圓繞原點旋轉，能夠使得點Q位于點P的半長圓內部或圓上，則稱點Q能被點P半長捕獲（或點P能半長捕獲點Q）．

（1）在平面直角坐標系xoy中，點M（2，0），則點M的半長圓的面積為 ；下列各點，能被點M半長捕獲的點有 ；

（2）已知點，

①點N（0，n），當t=1時，線段EF上的所有點均可以被點N半長捕獲，求n的取值范圍；

②若對于平面上的任意點（原點除外）都不能半長捕獲線段EF上的所有點，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），B點和C點；（2）①或；②．

【解析】

（1）根據M點坐標，先求出M的半長圓的半徑，由此可求面積，再根據題述定義，畫出大致圖，由圖可知被點M半長捕獲的點到原點的距離介于1到3之間，分別計算出各點到圓心的距離，即可得出被點M半長捕獲的點；

（2）①當n＞0時，根據題述定義可得被點N半長捕獲的點到原點的距離介于到之間，由此可列出不等式組，即可求得n的取值范圍，同理可求得n＜0時，n的取值范圍；

②設半長圓的半徑為r，則被點N半長捕獲的點到原點的距離介于r到3r之間，根據題意，可列出關于r的不等式組，且該不等式組無解，即可求得t的取值范圍．

解：（1）如下圖，

∵M（2，0）,

∴過M點的半長圓半徑為1，即HM=MF=1,

∴OH=1,OF=3，,

∴被點M半長捕獲的點到原點的距離介于1到3之間，

又∵,

∴,

所以，能被點M半長捕獲的點有B點和C點．

故答案為：，B點和C點；

（2）①根據點N（0，n），

若n＞0，則半長圓的半徑為，

此時，被點N半長捕獲的點到原點的距離介于到之間，

∵且，

∴,

又∵線段EF上的所有點均可以被點N半長捕獲，

∴，解得，

若n＜0，同理可得，

故或；

②∵，

∴，

設半長圓的半徑為r，

則被點N半長捕獲的點到原點的距離介于r到3r之間，

若對于平面上的任意點（原點除外）都不能半長捕獲線段EF上的所有點，則

關于r的不等式組 無解，

即，解得，

又∵，

∴，