Question

已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動點M從A點出發，以每秒一個單位長度的速度沿AB向點B運動，同時動點N從C點出發，以每秒2個單位長度的速度沿CO向O點運動．當其中一個動點運動到終點時，兩個動點都停止運動．
（1）求B點坐標；
（2）設運動時間為t秒；
①當t為何值時，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；
②當t為何值時，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積；
③若另有一動點P，在點M、N運動的同時，也從點A出發沿AO運動．在②的條件下，PM+PN的長度也剛好最小，求動點P的速度．

Answer 1

分析：（1）由題意可以先構造矩形OABD，然后根據勾股定理進行求解；
（2）是動點型的題要設好未知量：
①AM=t，ON=OC-CN=22-2t，根據四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半，列出等式求出t值；
②設四邊形OAMN的面積為S，用t表示出四邊形OAMN的面積，根據一次函數的性質求出最值；
③由題意取N點關于y軸的對稱點N′，連接MN′交AO于點P，此時PM+PN=PM+PN′=MN長度最小，表示出點M，N，N′的坐標，設直線MN′的函數關系式為y=kx+b，最后待定系數法進行求解．

解答：解：（1）作BD⊥OC于D，
則四邊形OABD是矩形，
∴OD=AB=10，
∴CD=OC-OD=12，
∴OA=BD=

BC2-CD2

=9，
∴B（10，9）；

（2）①由題意知：AM=t，ON=OC-CN=22-2t，
∵四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半，
∴

1

2

(t+22-2t)×9=

1

2

×

1

2

(10+22)×9，
∴t=6，
②設四邊形OAMN的面積為S，則s=

1

2

(t+22-2t)×9=-

9

2

t+99，
∵0＜t≤10，且s隨t的增大而減小，
∴當t=10時，s最小，最小面積為54．
③如備用圖，取N點關于y軸的對稱點N′，連接MN′交AO于點P，
此時PM+PN=PM+PN′=MN′長度最小．
當t=10時，AM=t=10=AB，ON=22-2t=2，
∴M（10，9），N（2，0），
∴N′（-2，0）；
設直線MN′的函數關系式為y=kx+b，則

10k+b=9 -2k+b=0

，
解得

k= 3 4 b= 3 2

，
∴P（0，

3

2

），
∴AP=OA-OP=

15

2

，
∴動點P的速度為

15

2

÷10=

3

4

個單位長度/秒．

點評：此題是一道綜合題，難度比較大，考查了勾股定理的應用和待定系數法求函數的解析式，動點型的題是中考的熱點，平時要多加練習，注意熟悉這方面的題型．