Question

如圖，四邊形ABCD和四邊形CGEF都是正方形，連接AE，M是AE的中點，連接MD、MF．探究線段MD、MF的關系，并加以說明．
說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，你可以從下列（1）、（2）中選取一個補充已知條件，完成你的證明．
注意：選取（1）完成證明得10分；選取（2）完成證明得7分．
①如圖2，正方形CGEF的對角線CE與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上；
②如圖3，正方形CGEF的邊CG與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，且CF=2AD．

Answer 1

分析：①MD=MF，MD⊥MF．如圖2，延長DM交CE于N，連接FD、FN，同（1）方法證明△ADM≌△ENM，得DM=MN，利用“SAS”證明，△FDC≌△FNE，得FD=FN，∠5=∠6，可證∠DFN=90°，△DFN為等腰直角三角形，FM為斜邊DN上的中線，可證MD=MF，MD⊥MF；
②如圖3，延長DM交FE于N，根據AM=ME，AD∥EF證明△AMD≌△EMN，得出NE=AD=DC，DM=MN，又FE=FC，可得FD=FN，則△DFN為等腰直角三角形，FM為斜邊DN上的中線，可證MD=MF，MD⊥MF．

解答：①證明：MD=MF，MD⊥MF．
如圖2，延長DM交CE于N，連接FD、FN．
∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD=DC，
∴∠1=∠2．
又∵AM=EM，∠3=∠4，
在△ADM和△ENM中

∠1=∠2 AM=ME ∠3=∠4

，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴AD=EN，MD=MN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵正方形CGEF，正方形CGEF的對角線CE與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，
∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．
又∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCF=∠NEF=45°，
在△FDC和△FNE中

DC=NE ∠DCF=∠NEF CF=EF

，
∴△FDC≌△FNE（SAS），
∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，
∴△DFN為等腰直角三角形，且FM為斜邊DN上的中線，
∴MD=MF，MD⊥MF；

②解：如圖3，延長DM交FE于N，
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠MAD=∠MEN，
又∵MA=ME，∠NME=∠DMA，
在△AMD和△EMN中

∠NME=∠DMA ME=AM ∠NEM=∠MAD

，
∴△AMD≌△EMN（ASA），
∴MD=MN，AD=EN．
∵AD=DC，
∴DC=NE．
又∵FC=FE，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質．關鍵是根據證明問題的一般方法，在圖形變化過程中，尋找不變的關系．