Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，△ABC的外角平分線BD交⊙O于D，DE與⊙O相切，交CB的延長線于E．
（1）判斷直線AC和DE是否平行，并說明理由；
（2）若∠A=30°，BE=1cm，分別求線段DE和

BD

的長（直接寫出最后結果）．

Answer 1

分析：（1）平行．連接OD，∵DE與⊙O相切，得出OD⊥DE．根據BD是∠ABE的平分線，推出∠ODB=∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根據AB是⊙O的直徑，得到AC⊥CE，即可推出答案；
（2）由∠A=30°，根據三角形的外角性質求出∠DBE，即可求出DE，根據弧長公式即可求出弧BD的長．

解答：（1）答：直線AC和DE平行．
理由是：
連接OD，∵DE與⊙O相切，
∴OD⊥DE．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD是∠ABE的平分線，
即∠ABD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥BE．
∴BE⊥DE，即DE⊥CE，
∵AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，
∴AC⊥CE，
∴AC∥DE．

（2）答：線段DE的長是

3

，

BD

的長是

2π

3

．

點評：本題主要考查對切線的性質，三角形的外角性質，三角形的角平分線，平行線的判定，圓周角定理，弧長公式，等腰三角形的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是證此題的關鍵．