Question

【題目】已知：等邊△ABC中，點E為△ABC內一點.

（1）如圖1，聯結AE、BE并延長分別與BC、CA邊交于點D、F。如果∠AEB=120°，求證：△ABD△BCF。

（2）如圖2、以AE為一邊作等邊△AEF，聯結BE、CF，求證：BE=CF.

（3）如圖3、點D為BC的中點，聯結BE、CE,若∠BEC=120°，聯結AE、DE,求證：AE=2DE.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解.

【解析】

（1）由∠AEB=120°，得到∠BAE+∠ABE=60°，即可得到∠BAE=∠CBF，然后利用ASA證明△ABD≌△BCF即可；

（2）由等邊三角形△ABC、△AEF，得到AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=60°，則得到∠BAE=∠CAF，然后證明△ABE≌△ACF，即可得到結論成立；

（3）把△ABE逆時針旋轉60°，得到△ACF，連接EF，延長ED至點G，使得ED=DG，連接CG. 由旋轉的性質，得△ABE≌△ACF，且△AEF時等邊三角形；由∠BEC=120°，得到∠EBD+∠ECD=60°，根據角的等量代換得到∠ECF=∠ECG=60°，然后得到△ECG≌△ECF，得到EG=EF=AE，即可得到AE=2ED.

證明：（1）如圖，

在等邊△ABC中，有AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

∵∠AEB=120°，

∴∠BED=180°120°=60°，

∴∠BAE+∠ABE=60°，

∵∠CBF+∠ABE=∠ABC=60°，

∴∠BAE=∠CBF，

∴△ABD≌△BCF（ASA）；

（2）如圖，

∵△ABC和△AEF是等邊三角形，

∴AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴BE=CF；

（3）如圖，把△ABE逆時針旋轉60°，得到△ACF，連接EF，延長ED至點G，使得ED=DG，連接CG.

由旋轉的性質，得：△ABE≌△ACF，且△AEF時等邊三角形，

∴AE=AF=EF，BE=CF，∠ABE=∠ACF，

∵∠BEC=120°，

∴∠EBD+∠ECD=60°，

∵∠EBD+∠ABE=∠ABC=60°，

∴∠ABE=∠ECD=∠ACF，

∴∠ACF+∠ACE=∠ECD+∠ACE=∠ACB=60°，

∴∠ECF=60°.

∵ED=DG，∠BDE=∠CDG，BD=CD，

∴△BDE≌△CDG，

∴BE=CG=CF，∠EBD=GCD，

∴∠GCD+∠ECD=∠EBD+∠ABE=∠ABC=60°，

∴∠ECG=60°，

∴∠ECF=∠ECG=60°，

在△ECG和△ECF中，

，

∴△ECG≌△ECF，

∴EG=EF=AE，

∵EG=2ED，

∴AE=2ED.