Question

【題目】（問題情境）

(1)古希臘著名數學家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．射影定理是數學圖形計算的重要定理．

其符號語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則：(1)CD = AD·BD, (2)AC = AB·AD, (3)BC=AB·BD；請你證明定理中的結論(2)BC=AB·BD．

（結論運用）

（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，

①求證：△BOF∽△BED；

②若，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）通過證明Rt△CBD∽Rt△ABC得到CB：AB=BD：BC，然后利用比例性質即可得到BC=AB·BD；

（2）根據射影定理得BC2=BOBD，BC2=BFBE，則BOBD=BFBE，即，

加上∠OBF=∠EBD，于是可根據相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；

（3）先計算出CE 、DE、OB的長，再利用（1）中結論△BOF∽△BED得到

=，即可求得OF的長．

（1）證明：如圖1，∵CD⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BDC=∠ACB=90°，

而∠CBD=∠ABC，

∴Rt△CBD ∽Rt△ABC，∴CB：AB=BD：BC，

∴ =ABBD；

（2）①證明：如圖2，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BOBD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BFBE，

∴BOBD=BFBE，

即 ，

而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

②∵在Rt△BCE中，BC=6，，

∴CE=，∴DE=BC-CE=4，

在Rt△OBC中，OB=，

∵△BOF∽△BED，

∴=，即，

∴OF=.