Question

【題目】如圖①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB邊上的中點，點M和點N是動點，分別從A，C出發，以相同的速度沿AC，CB邊上運動．

（1）判斷DM與DN的關系，并說明理由；

（2）若AC=BC=2，請直接寫出四邊形MCND的面積；

（3）如圖②，當點M運動到C點后，將改變方向沿著CB運動，此時，點N在CB延長線上，過M作ME⊥CD于點E，過點N作NF⊥DB交DB延長線于F，求證：ME=NF．

Answer 1

【答案】（1）DM與DN相等；（2）S四邊形MCND=1；（3）見解析.

【解析】

（1）連接CD，判定△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN；

（2）依據△ADM≌△CDN，可得S△ADM=S△CDN，再根據S四邊形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD進行計算即可；

（3）依據CM=BN，∠CEM=∠F=90°，∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，即可得到△CME≌△BNF，進而得出ME=NF．

（1）DM與DN相等．

如圖1，連接CD，

∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AB邊上的中點，

∴CD=AD，∠DCN=45°=∠A，

又∵點M和點N的移動速度相等，

∴CN=AM，

∴△ADM≌△CDN，

∴DM=DN；

（2）如圖1，∵△ADM≌△CDN，

∴S△ADM=S△CDN，

∴S四邊形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD=S△ABC=××2×2=1；

（3）如圖2，∵點M和點N的移動速度相等，

∴AC+CM=BC+BN，而AC=BC，

∴CM=BN，

∵ME⊥CD，NF⊥DB，

∴∠CEM=∠F=90°，

又∵∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，

∴△CME≌△BNF，

∴ME=NF．