Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F為AB中點，連接DF、EF，DE、EF與AC交于點O，DE與AB交于點G，連接OG，若∠BAC=30°，下列結論：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG與△EOG的面積比為1：4．其中正確的結論的序號是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據等邊三角形的性質求出∠EAC=60°，AE=AC，求出BC=AF，根據SAS證△ABC≌△EFA，推出FE=AB，∠AEF=∠BAC=30°，求出∠AOE=90°，即可判斷③；求出AD=BD，BF=AF，∠DFB=∠EAF，∠BDF=∠AEF，根據AAS證△DBF≌△EFA，即可判斷①；得出四邊形ADFE為平行四邊形，推出AG=AF，AG=AB，求出AD=AB，推出AD=4AG，即可判斷④；求出∠FAE=90°，∠AFE＜90°，推出EF＞AE，即可判斷②；根據平行四邊形性質得出AG=GF，推出S三角形AGOS三角形GOF，設AG=1，則AF=2，AB=4，BC=2，由勾股定理求出AC=2，求出AO=OC，由勾股定理求出OE=3，得出△GOF和△EGO的面積比是1：3，即可判斷⑤．

解：∵△ACE是等邊三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC，

∵∠BAC=30°，

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，

∵F為AB的中點，

∴AB=2AF，

∴BC=AF，

在△ABC和△EFA中

,

∴△ABC≌△EFA（SAS），

∴FE=AB，∠AEF=∠BAC=30°，

∠AOE=180°-30°-60°=90°，

∴EF⊥AC，∴③正確，

∵AD=BD，BF=AF，

∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=30°，

∴∠BDF=∠AEF，

在△DBF和△EFA中

,

∴△DBF≌△EFA（AAS），∴①正確；

∴AE=DF，

∵FE=AB，

∴四邊形ADFE為平行四邊形，

∴AG=AF，AG=AB，

∵AD=AB，

則AD=4AG，∴④正確；

∵四邊形ADFE為平行四邊形，

∴AD=EF，

∵∠FAE=90°，∠AFE＜90°，

∴EF＞AE，

即AD＞AE，∴②錯誤；

∵四邊形ADFE為平行四邊形，

∴AG=GF，

∴S三角形AGO=S三角形GOF，

設AG=1，則AF=2，AB=4，BC=2，由勾股定理得：AC=2，

∠CAE=60°，∠AEF=∠CAB=30°，

∴∠COE=30°+60°=90°=∠AOE，

∵AE=CE，

∴AO=OC，

在等邊三角形ACE中，AE=AC=2，AO=OC=，

由勾股定理得：OE==3，

∵△GOF的邊OF和△EGO的邊OE上的高相等，

∴△GOF和△EGO的面積比是1：3，

即△AOG與△EOG的面積比為1：3，∴⑤錯誤；

正確的有①③④，

故答案為：①③④．