Question

設y=

ax+b

cx+d

，a、b、c、d都是有理數，x是無理數．求證：
（1）當bc=ad時，y是有理數；
（2）當bc≠ad時，y是無理數．設△ABC的三邊分別是a、b、c，且a²+c²+8b²-4ab-4bc=0，試求△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據y的表達式可得c、d不能同時為0，從而分三種情況討論，①若c=0，d≠0，②若d=0，c≠0，③若c≠0，d≠0，這樣根據bc=ad的條件，可將每種情況下y的值求出來，繼而可證得結論；
（2）運用反證法，假設bc=ad時，y為有理數，則（cx+d）y=ax+b，即（cy-a）x+（dy-b）=0，這樣根據題意可判斷出cy-a=0，dy-b=0，進而能得出bc≠ad的結論，得出矛盾．

解答：證明：（1）c、d不能同時為0，否則y無意義，
①若c=0，由bc=ad，d≠0，可得a=0，此時y=

b

d

；
②若d=0，則c≠0，由bc=ad，可得b=0，此時y=

ax

cx

=

a

c

為有理數，
③若c≠0，d≠0，由bc=ad得a=

bc

d

，代入y得，y=

b

d

為有理數．
綜上三種情況可得當bc=ad時，y是有理數；

（2）①假設bc≠ad時，y為有理數，則（cx+d）y=ax+b，即（cy-a）x+（dy-b）=0，
因cy-a，dy-b為有理數，x為無理數，
故有cy-a=0，dy-b=0，
從而bc=cdy=（cy）d=ad，這與已知條件bc≠ad矛盾，從而y不是有理數，y一定是無理數．
②∵a²+c²+8b²-4ab-4bc=0，可得（a-2b）²+（c-2b）²=0，
從而可得a=2b=c，
故可判斷△ABC是等腰三角形．

點評：本題考查有理數及無理數的概念及運算，難度較大，證明本題需要我們熟練掌握有理數與無理數的運算所得結果的特點，另外要求我們掌握分類討論思想在解題中的運用．