Question

同學(xué)們，在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱變換后我們經(jīng)常會(huì)遇到三角形中的“折疊”問(wèn)題．我們通常會(huì)考慮到折疊前與折疊后的圖形全等，并利用全等的性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等來(lái)研究解決數(shù)學(xué)中的“折疊”問(wèn)題．
（1）如圖①，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)部時(shí)，我們不僅可以發(fā)現(xiàn)AE=A′E，AD=

 

，而且我們還可以通過(guò)發(fā)現(xiàn)∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠

 

，∠A=∠A′，從而求得∠1+∠2=2∠A．
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)A落在△ABC外部時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)∠2=∠DFA+∠

 

，∠DFA=∠1+∠

 

，那么（1）中的∠1+∠2=2∠A在這里還成立嗎？如成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．如不成立，請(qǐng)寫出成立的式子并說(shuō)明理由．
（3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，將它的一個(gè)銳角翻折，使該銳角頂點(diǎn)落在其對(duì)邊的中點(diǎn)D處，折痕交另一直角邊于E，交斜邊于F，請(qǐng)你模仿圖①，圖②，畫出相應(yīng)的示意圖并求出△CDE的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知，AD=A’D，∠ADE=∠A’DE，由圖形翻折變換的性質(zhì)可得到∠A=∠A′，再由∠2=∠DFA+∠A即可得出∠1+∠2=2∠A；
（2）由圖形翻折變換的性質(zhì)可得到∠A=∠A′，再根據(jù)∠2=∠DA′A+∠DAA′即可求出答案；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）AD=A’D，∠ADE=∠A’DE，（1分）

（2）∠2=∠DEA+∠A，∠DFA=∠1+∠A’（3分）
如圖②由圖形翻折變換的性質(zhì)可知，∠A=∠A′，
連接AA′，
則∠2=∠DA′A+∠DAA′
=∠DA′E+∠EA′A+∠DAE+∠A′AE，
=2∠A+∠EA′A+∠A′AE
=2∠A+∠1即∠2-∠1=2∠A；

（3）當(dāng)如圖③所示折疊時(shí)，
△CDE的周長(zhǎng)=CD+CE+DE
=CD+CE+EB
=CD+CB
=

1

2

AC+CB
=

1

2

×6+8
=11；
當(dāng)如圖④所示折疊時(shí)，
△CDE的周長(zhǎng)=CD+CE+DE
=CD+CE+AE
=CD+AC
=

1

2

CB+AC
=

1

2

×8+6
=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即圖形翻折變換后所得圖形與原圖形全等．