Question

【題目】已知：如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于M，N兩點，過點M作MC⊥y軸于點C，且CM＝1，過點N作ND⊥x軸于點D，且DN＝1，已知點P是x軸（除原點O外）上一點.

（1）直接寫出M、N的坐標及k的值；

（2）將線段CP繞點P按逆時針旋轉90°得到線段PQ，當點P滑動時，點Q能否在反比例函數的圖象上？如果能，求出點Q的坐標；如果不能，請說明理由；

（3）當點P滑動時，是否存在反比例函數圖象（第一象限的一支）上的點S，使得以P、S、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合題意的點S的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）存在，S的坐標為或.

【解析】

（1）根據題意可得M點的橫坐標為1，代入一次函數計算可得縱坐標，進而可得M點的坐標，已知N點的縱坐標，代入一次函數可得N點的橫坐標，進而可得N點的坐標；

（2）設P點的坐標為（x,0），根據C、P可以計算出CP所在直線的解析式，進而可得PQ所在直線的解析式，就可以表示Q點的坐標，在代入反比例函數，即可求得x,從而可得Q點的坐標;

（3）根據P點的坐標，將四邊形其余各點都表示出來，再代入反比例函數看是否有解，有解則說明此點存在，無解說明不存在，進而可得S點的坐標。

解：（1）當時，，.

當時，，解得，

將點代入得，

；

（2）若CP逆時針旋轉，點Q在雙曲線上，

設，則，

，即，

，

；

（3）設，

當MN為平行四邊形的一條邊時，則，

把S點的坐標代入，得，解得.

當MN為平行四邊形的對角線時，則，

把S點的坐標代入，得，解得，

∴存在，S的坐標為或.