Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．
（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），求證：BM+DN=MN；
（2）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），則線段BM，DN和MN之間數量關系是______；
（3）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系呢？并對你的猜想加以說明．

Answer 1

（1）證明：如圖1，延長CB至E使得BE=DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中
∵

AD=AB ∠D=∠ABE DN=BE

，
△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN；

（2）線段BM，DN和MN之間數量關系是BM+DN=MN，理由如下：
延長CB至E，使得BE=DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ADN和△ABE中，
∵

AD=AB ∠D=∠ABE DN=BE

，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∵在△EAM和△NAM中

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△EAM≌△NAM，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴BM+DN=MN，
故答案為：BM+DN=MN；

（3）DN-BM=MN，理由如下：
如圖3，在DC上截取DE=BM，連接AE，
由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），
∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，
∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠MAN．
∵在△MAN和△EAN中，

AE=AM ∠MAN=∠EAN AN=AN

，
∴△MAN≌△EAN（SAS），
∴EN=MN，
即DN-DE=MN，
∴DN-BM=MN．