Question

閱讀材料：
小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2

2

=（1+

2

）²．善于思考的小明進行了以下探索：
設a+b

2

=（m+n

2

）²（其中a、b、m、n均為整數），則有a+b

2

=m²+2n²+2mn

2

．
∴a=m²+2n²，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b

2

的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b

3

=(m+n

3

)2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=

 

，b=

 

；
（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空：

 

+

 

3

=（

 

+

 

3

）²；
（3）若a+4

3

=(m+n

3

)2，且a、m、n均為正整數，求a的值？

Answer 1

分析：（1）根據完全平方公式運算法則，即可得出a、b的表達式；
（2）首先確定好m、n的正整數值，然后根據（1）的結論即可求出a、b的值；
（3）根據題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值．

解答：解：（1）∵a+b

3

=(m+n

3

)2，
∴a+b

3

=m²+3n²+2mn

3

，
∴a=m²+3n²，b=2mn．
故答案為m²+3n²，2mn．

（2）設m=1，n=1，
∴a=m²+3n²=4，b=2mn=2．
故答案為4、2、1、1．

（3）由題意，得：
a=m²+3n²，b=2mn
∵4=2mn，且m、n為正整數，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=2²+3×1²=7，或a=1²+3×2²=13．

點評：本題主要考查二次根式的混合運算，完全平方公式，解題的關鍵在于熟練運算完全平方公式和二次根式的運算法則．