Question

【題目】已知：如（圖1），在平面直角坐標中，A(12，0)，B(6，6)，點C為線段AB的中點，點D與原點O關于點C對稱．

（1）利用直尺和圓規在（圖1）中作出點D的位置（保留作圖痕跡），判斷四邊形OBDA的形狀，并說明理由；

（2）在（圖1）中，動點E從點O出發，以每秒1個單位的速度沿線段OA運動，到達點A時停止；同時，動點F從點O出發，以每秒a個單位的速度沿OB→BD→DA運動，到達點A時停止．設運動的時間為t（秒）．

①當t=4時，直線EF恰好平分四邊形OBDA的面積，求a的值；

②當t=5時，CE=CF，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形OBDA是平行四邊形，見解析；（2）①2+，②或或

【解析】

（1）作射線OC，截取CD=OC，然后由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行可得到四邊形的形狀；

（2）①由直線EF恰好平分四邊形OBDA的面積可知直線EF必過C，接下來，證明△OEC≌△DFC，從而可求得DF的長度，于是得到BF=8，然后再由兩點間的距離公式求得OB的長，從而可求得a的值；

②先求得點E的坐標，然后求得EC的長，從而得到CF1的長，然后依據勾股定理的逆定理證明∠OBA=90°，在△BCF1中，依據勾股定理可求得BF1的長，從而可求得a的值，設點F2的坐標（b，6），由CE=CF列出關于b的方程可求得點F2的坐標，從而可求得a的值，在Rt△CAF3中，取得AF3的長，從而求得點F運動的路程，于是可求得a的值．

解：（1）如圖所示：

四邊形OBDA是平行四邊形．

理由如下：∵點C為線段AB的中點，

∴CB=CA．

∵點D與原點O關于點C對稱，

∴CO=CD．

∴四邊形OBDA是平行四邊形．

（2）①如圖2所示；

∵直線EF恰好平分四邊形OBDA的面積，

∴直線EF必過C（9，3）．

∵t=4，

∴OE=4．

∵BD∥OA，

∴∠COE=∠CDF．

∵在△OEC和△DFC中，

∴△OEC≌△DFC．

∴DF=OE=4．

∴BF=12-4=8．

由兩點間的距離公式可知OB==6．

∴4a=6+8．

∴a=2+．

②如圖3所示：

∵當t=5時，OE=5，

∴點E的坐標（5，0）．

由兩點間的距離公式可知EC==5．

∵CE=CF，

∴CF=5．

由兩點間的距離公式可知OB=BA=6，

又∵OA=12．

∴△OBA為直角三角形．

∴∠OBA=90°．

①在直角△F1BC中，CF1=5，BC=3，

∴BF1=．

∴OF1=6-．

∴a=．

②設F2的坐標為（b，6）．由兩點間的距離公式可知=5．

解得；b=5（舍去）或b=13．

∴BF2=13-6=7．

∴OB+BF2=6+7．

∴a=．

③∵BO∥AD，

∴∠BAD=∠OBA=90°．

∴AF3==．

∴DF3=6-．

∴OB+BD+DF3=6+12+6-=12-+12．

∴a=．

綜上所述a的值為或或．