Question

【題目】定義：如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么這個三角形叫“恰等三角形”，這條中線叫“恰等中線”．

（直角三角形中的“恰等中線”）

（1）如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2，AM為△ABC的中線．求證：AM是“恰等中線”．

（等腰三角形中的“恰等中線”）

（2）已知，等腰△ABC是“恰等三角形”，AB＝AC＝20，求底邊BC的平方．

（一般三角形中的“恰等中線”）

（3）如圖2，若AM是△ABC的“恰等中線”，則BC2，AB2，AC2之間的數量關系為 ．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）600或320；（3）.

【解析】

（1）根據“恰等中線”的定義和勾股定理，判定即可；

（2）利用“恰等三角形”的定義，分類討論：①若腰上的中線為“恰等中線”，過B作腰AC邊上的高，利用勾股定理即可求出BC2；②若底的中線為“恰等中線”，利用勾股定理求BC2即可；

（3）過A作AD⊥BC，交BC于點D，再利用勾股定理列等式即可.

解：（1）∵BC＝2，AM為△ABC的中線

∴CM=

在Rt△AMC中，

AM=，

∴AM=BC

∴AM是“恰等中線”．

（2）①若腰上的中線為“恰等中線”，假設BD是“恰等中線”，過B作BN⊥AC，如圖所示：

∵AB=AC=20，BD是AC的“恰等中線”

∴BD=AC=20，AD=DC=10

∴△ABD為等腰三角形，

∵BN⊥AC

∴AN=DN=

∴

NC=ND＋DC=15

∴

②若底的中線為“恰等中線”，如下圖所示AD為“恰等中線”，設

∴AD=BC，且BD=CD=

∵AB=AC=20

∴AD⊥BC

在Rt△ABD中

解得：

綜上所述：或320.

（3）過點A作AD⊥BC交BC于D，

∵AM是△ABC的“恰等中線”

∴AM=BC，BM=CM=

在Rt△ABD，Rt△AMD和Rt△ACD中

，，

∴ ，

由①②變形得：

將③＋④得：

=

=

將AM=BC，BM=CM=代入得：

∴