Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4 cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2 cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是t秒(0<t≤15)．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF.

(1)求證：AE＝DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；

(3)當t為何值時，△DEF為直角三角形？請直接寫出結果；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）能，當t＝10秒時，四邊形AEFD為菱形；（3）當t＝或12秒時，△DEF為直角三角形．

【解析】

（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質求得DF的長，即可證明.

（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據此即可列方程求得t的值.

（3）△DEF為直角三角形①當∠DEF＝90°時，由(2)知四邊形AEFD為平行四邊形，易求AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，即可解得此時t＝12；②當∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形，易求AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得此時t＝；③若∠EFD＝90°，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在．

(1)證明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t

∴DF＝2t

又∵AE＝2t

∴AE＝DF.

(2)能．理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC

∴AE∥DF

又∵AE＝DF

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

當四邊形AEFD為菱形時，AE＝AD＝AC－DC

即60－4t＝2t，

解得t＝10.

∴當t＝10秒時，四邊形AEFD為菱形．

(3)①當∠DEF＝90°時，由(2)知四邊形AEFD為平行四邊形，

∴EF∥AD

∴∠ADE＝∠DEF＝90°

∵∠A＝60°

∴∠AED＝30°

∴AD＝AE＝t.

又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12；

②當∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形，在Rt△AED中，∠A＝60°

則∠ADE＝30°

∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝；

③若∠EFD＝90°，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在．

故當t＝或12秒時，△DEF為直角三角形．