Question

【題目】如圖，點P為x軸正半軸上的一個點，過點P作x軸的垂線，交函數的圖象于點A，交函數的圖象于點B，過點B作x軸的平行線，交于點C，邊接AC．

（1）當點P的坐標為（1，0）時，求△ABC的面積；

（2）當點P的坐標為（1，0）時，在y軸上是否存在一點Q，使A、O、Q三點為頂點的三角形△QAO為等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，說明理由．

（3）請你連接OA和OC．當點P的坐標為（t，0）時，△OAC的面積是否隨t的值的變化而變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）則Q的坐標為（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）；

（3）見解析.

【解析】

（1）根據P點坐標先求出A，B兩點坐標，然后求出C點坐標，得到AB=3，BC=，再利用三角形面積公式求解即可；

（2）如圖①，先求得OA=，再分OA=OQ，AQ=AO，QO=QA三種情況，分別求出Q點坐標即可；

（3）如圖②過點C作CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，因為點P的坐標為（t，0），所以點A的坐標為（t，），點B（t，），點C（，），由圖②可知S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP，進而可得到關于t的方程，然后解方程即可.

解：（1）當點P的坐標為（1，0）時，點A、B的橫坐標為1，

∵點A在反比例函數y=上，點B在反比例函數y=上，

∴點A（1，1），點B（1，4），

∵BC∥x軸，

∴點C的縱坐標為4，

又∵點C在y=上，

∴點C的坐標為（，4），

∴AB=3，BC=，

∴S△ABC=×BC×AB=；

（2）如圖①所示：OA==，

①若OA=OQ，點Q位于Q1或Q2位置，此時Q1（0，﹣），Q2（0，）；

②若AQ=AO，點Q位于Q3位置，此時Q3（0，2）；

③若QO=QA，點Q位于Q4位置，此時Q4（0，1）；

則Q的坐標為（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）；

（3）過點C作CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，如圖②所示：

∵點P的坐標為（t，0），

∴點A的坐標為（t，），點B（t，），點C（，），

∴S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP=1+（+）×（t﹣）﹣﹣=；

故△OAC的面積不隨t的值的變化而變化．