Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+4x+c與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E，B，點B坐標為（5，0）．

（1）求二次函數(shù)解析式及頂點坐標；

（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，頂點坐標為（2，9）；（2）當P（， ）時，S有最大值為．

【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法求拋物線解析式，并利用配方法求頂點坐標；
（2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點P坐標（x，-x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD=-2x2+10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值；可得P的坐標．

試題解析：（1）把點A（0，5），點B坐標為（5，0）代入拋物線y=ax2+4x+c中，
得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴頂點坐標為（2，9）；
（2）設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴，
解得： ，

∴直線AB的解析式為：y=-x+5，
設(shè)P（x，-x2+4x+5），則D（x，-x+5），
∴PD=（-x2+4x+5）-（-x+5）=-x2+5x，
∵點C在拋物線上，且縱坐標為5，
∴C（4，5），
∴AC=4，
∴S四邊形APCD=ACPD=×4（-x2+5x）=-2x2+10x=-2（x-）2+，
∵-2＜0，
∴S有最大值，
∴當x=時，S有最大值為，
此時P（， ）．