Question

【題目】如圖，⊙O為ABC的外接圓，D為OC與AB的交點，E為線段OC延長線上一點，且EACABC.

（1）求證：直線AE是⊙O的切線；

（2）若D為AB的中點，CD3，AB8.

①求⊙O的半徑；②求ABC的內心I到點O的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①⊙O的半徑；②ABC的內心I到點O的距離為.

【解析】

（1）連接AO，證得EACABC=,，則EAO=EAC+CAO=，從而得證；

（2）①設⊙O的半徑為r,則OD=r-3，在△AOD中，根據勾股定理即可得出②作出ABC的內心I，過I作AC,BC的垂線，垂足分別為F,G.設內心I到各邊的距離為a，由面積法列出方程求解可得答案。

(1)如圖，連接AO

則EACABC=.

又∵AO=BO,

∴ACO=CAO=

∴EAO=EAC+CAO=AOC +=

∴EA⊥AO

∴直線AE是⊙O的切線；

（2）①設⊙O的半徑為r,則OD=r-3，

∵D為AB的中點，

∴OC⊥AB，ADO=，AD=4

∴,即

解得

②如下圖，

∵D為AB的中點，

∴

且CO是的平分線，則內心I在CO上，連接AI,BI,過I作AC,BC的垂線，垂足分別為F,G.

易知DI=FI=GI,設其長為a.由面積可知：

即

解得

∴

∴ABC的內心I到點O的距離為