Question

【題目】某商品公司為指導某種應季商品的生產和銷售，在對歷年市場行情和生產情況進行調查基礎上，對今年這種商品的市場售價和生產成本進行了預測并提供了兩個方面的信息：如圖（1）（2）．

注：兩圖中的每個實心黑點所對應的縱坐標分別指相應月份一件商品的售價和成本，生產成本6月份最高；圖（1）的圖象是線段，圖（2）的圖象是拋物線．
（1）在3月份出售這種商品，一件商品的利潤是多少？
（2）設t月份出售這種商品，一件商品的成本Q（元），求Q關于t的函數解析式．
（3）設t月份出售這種商品，一件商品的利潤W（元），求W關于t的函數解析式．
（4）問哪個月出售這種商品，一件商品的利潤最大？簡單說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：每件商品在3月份出售時的利潤為5元
（2）解：∵拋物線的頂點坐標為（6，4）

∴設拋物線的解析式為Q=a（t﹣6）2+4

∵拋物線過（3，1）點

∴1=a（3﹣6）2+4

解得：a=﹣

∴Q=﹣ （t﹣6）2+4=﹣ t2+4t﹣8，其中t=3、4、5、6、7

（3）解：設每件商品的售價M（元）與時間t（月）之間的函數關系式為M=kt+b

∵線段過（3，6）、（6，8）兩點

∴3k+b=6 6k+b=8

解得：k= ，b=4

∴M= t+4，其中t=3、4、5、6、7；

∴W=M﹣Q=（ t+4）﹣（﹣ t2+4t﹣8）= t2﹣ t+12（其中t=3、4、5、6、7）

（4）解：每件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數關系式為

W= t2﹣ t+12= （t﹣5）2+ ，其中t=3、4、5、6、7

∴當t=3或7時，W的最大值為 元

【解析】（1）從圖易知3月份每件商品售價6元，成本1元，易求利潤；（2）根據圖象特征設解析式為頂點式易求解析式；（3）根據利潤的計算方法，顯然需求直線解析式，再求差，（4）運用函數性質計算利潤．