Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求B的坐標；

（2）當點P運動到點（t，0）時，試用含t的式子表示點D的坐標；

（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于，若存在，請求出符合條件的點P的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標是（2，2）．（2）點D的坐標為（，2+t）．（3）存在. 點P的坐標分別為P1（，0），P2（-，0），P3（-，0），P4（，0）．

【解析】

試題分析：（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解．

（2）由△ABD由△AOP旋轉得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數求出BG=BDcos60°，DG=BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標．

（3）分三種情況進行討論：

①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時；

②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時；即-＜t≤0時

③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤-時．

綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．

試題解析：（1）如圖1，

過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．

由已知得：BF=OE=2，

∴OF=，

∴點B的坐標是（2，2）．

設直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），

則有，

∴．

∴直線AB的解析式是y=-x+4，

（2）∵△ABD由△AOP旋轉得到，

∴△ABD≌△AOP．

∴AP=AD，∠DAB=∠PAO．

∴∠DAP=∠BAO=60°．

∴△ADP是等邊三角形．

如圖2，

過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH．

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，

∴BG=BDcos60°=．DG=BDsin60°=t．

∴OH=EG=，DH=2+t．

∴點D的坐標為（，2+t）．

（3）存在．

假設存在點P，在它的運動過程中，使△OPD的面積等于．

設點P為（t，0），下面分三種情況討論：

①當t＞0時，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，

∴DH=2+t．

∵△OPD的面積等于，

∴t（2+t）=，

∴t1=，t2=（舍去）．

∴點P1的坐標為（，0）．

②∵當D在x軸上時，如圖3，

根據銳角三角函數求出BD=OP=，

∴當-＜t≤0時，如答圖1，BD=OP=-t，DG=-t，

∴GH=BF=2-（-t）=2+t．

∵△OPD的面積等于

∴-t（2-t）=，

∴t1=-，t2=-

∴點P2的坐標為（-，0），點P3的坐標為（-，0）．

③當t≤-時，BD=OP=-t，DG=-t，

∴DH=-t-2．

∵△OPD的面積等于，

∴（-t）（-2-t）=，

∴t1=，t2=（舍去）．

∴點P4的坐標為（，0）．

綜上所述，點P的坐標分別為P1（，0），P2（-，0），P3（-，0），P4（，0）．