Question

【題目】如圖，正方形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A的坐標為（4，3）
（1）頂點C的坐標為（ ， ），頂點B的坐標為（ ， ）；
（2）現有動點P、Q分別從C、A同時出發，點P沿線段CB向終點B運動，速度為每秒1個單位，點Q沿折線A→O→C向終點C運動，速度為每秒k個單位，當運動時間為2秒時，以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形，求此時k的值．
（3）若正方形OABC以每秒 個單位的速度沿射線AO下滑，直至頂點C落到x軸上時停止下滑．設正方形OABC在x軸下方部分的面積為S，求S關于滑行時間t的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）﹣3；4；1；7
（2）

解：由題意得，AO=CO=BC=AB=5，

當t=2時，CP=2．

①當點Q在OA上時，∵PQ≥AB＞PC，

∴只存在一點Q，使QC=QP．

作QD⊥PC于點D（如圖2中），則CD=PD=1，

∴QA=2k=5﹣1=4，

∴k=2．②當點Q在OC上時，由于∠C=90°所以只存在一點Q，使CP=CQ=2，

∴2k=10﹣2=8，∴k=4．

綜上所述，k的值為2或4

（3）

解：①當點A運動到點O時，t=3．

當0＜t≤3時，設O’C’交x軸于點E，作A’F⊥x軸于點F（如圖3中）．

則△A’OF∽△EOO’，

∴ = = ，OO′= t，

∴EO′= t，

∴S= t2．②當點C運動到x軸上時，t=4

當3＜t≤4時（如圖4中），設A’B’交x軸于點F，

則A’O=A′O= t﹣5，

∴A′F= ．

∴S= （ + t）×5= ．

綜上所述，S=

【解析】解：（1）如圖1中，作CM⊥x軸于，AN⊥x軸于N．連接AC、BO交于點K．

易證△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，
∴C（﹣3，4），∵CK=AK，OK=BK，
∴K（ ， ），B（1，7），
所以答案是﹣3，4，1，7
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和坐標與圖形變化-平移的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點；連接各組對應點的線段平行且相等才能正確解答此題．