Question

【題目】如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD=4，AD=6，CD=8．

（1）求證：∠ACB=∠ABC；

（2）如圖2，E為AC的中點，連結DE．動點M從點B出發以每秒1cm的速度沿線段BA向點A 運動，同時動點N從點A出發以相同速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終點時另一個點也停止運動．設點M運動的時間為t（秒），

①若MN與BC平行，求t的值；

②問在點M運動的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①t=5；②t值為9或10或

【解析】

（1）先求出AB的長，再利用勾股定理求出AC的長，由AB=AC，等邊對等角即可得出∠ACB=∠ABC；（2）① 由上題知AB=AC，因此當AM=AN時， MN∥BC ，于是結合路程的關系列方程，求出t即可；②因為BD<DE，當M在BD上時，△BDE不可能構成等腰三角形，當M在DA上時，分三種情況分別求解，若DE=DM，有t-4=5，求出t即可；若如果ED=EM，點M剛好運動到點A， 顯然t=10； 如果MD=ME，過E作EH⊥AD，把EH和HM分別用含t的代數式表示，在△EHM中，再利用勾股定理列式求出t即可；

解：

（1）證明：∵AB=AD+BD=6+4=10，

AC=，

∴AB=AC，

∴ ∠ACB=∠ABC.

（2）解：如圖，

①由題意得BM=t，AN=t，則AM=10-t，

當MN∥BC時，AM=AN，

即10﹣t=t，

∴t=5；

②當點M在DA上，即4＜t≤10時，△MDE為等腰三角形，有3種可能．

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∵E為AC中點，

∴DE=AC=5，

如果DE=DM，則t﹣4=5，

∴t=9；

如果ED=EM，則點M運動到點A，

∴t=10；

如果MD=ME=t﹣4，過E作EH⊥AD，

∵EH⊥AD，CD⊥AD，

∴EH∥CD，

∵E為AC中點，

∴AE=CD=4，

在中，

DH=，

∴HM=DM-DH=t-4-3=t-7，

在△EHM中，

則（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42，

∴t= ；

綜上所述，符合要求的t值為9或10或 ；